単語記事: 指数関数

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指数関数とは、累乗の概念を自然数より広い範囲に拡し、数を変数にした関数である。

概要

正の数aから始めて、次々にa倍した数を書き並べるとしよう。n個に書かれているのはanとなるね。それはnが増えるにつれて、a>1ならどんどん大きくなり、a = 1なら1のまま、a<1なら0に向かって小さくなっていく。そこで、数を自然数に限定しなくてもこの関係が成り立つのでは?と考える。そこから出てくるのが指数関数につながるわけだ。

指数の拡張

一般のxについて、法則が成り立ち、かつ概要に書いた大小関係が成り立つようにaxを定める。

a0

法則により、a0a = a0a1 = a0+1 = a1 = a
a≠0より、両辺をaで割って、a0 = 1

ちなみにこれは、大小関係を除けばa<0のときにも成り立つ。00は定義されないが、便宜的に1とすることがある。

a-n

nを自然数とする。
法則により、ana-n = an-n = a0 = 1
an≠0より、両辺をanで割って、a-n = 1/an

ちなみにこれは、大小関係を除けばa<0のときにも成り立つ。0-nは定義されないが、便宜的にとすることがある。

am/n

m,nを整数とし、n>0とする。
法則により、(a1/n)n = an/n = a1 = a
よって、a1/nは、aのn乗根である。その中で正の実数となるものが必ず一つ存在する。大小関係を保つのはその正の実数値のみである。
法則により、am/n = (a m)1/n = n√am

ちなみにこれは、a<0のときは成り立たない。負の数の偶数乗根は実数の範囲に存在しないからである。0のn乗根は0しかないので、01/n = 0が成り立ち、m>0のとき、0m/n = 0である。m≦0のときは00,0-n同様定義されない。

ax

xを一般の実数としたとき、これに限りなく近づく有理数列を考える。それを数とする数列を作れば、それはある値に限りなく近づく。それをaxとする。

ちなみに、x>0のとき、0x = 0である。なぜなら、xに十分近い有理数は正の値をとり、それを数とするとすべて0になるからである。

指数関数

数を実数まで拡できたので、実数を定義域とする関数axを定義できる。ここで、aを底という。a = 1のときは定数関数となるため、除外して考えることが多い。グラフは必ず(0,1)を通り、下に曲線となる。a>1なら単調増加、a<1なら単調減少である。xを0から遠ざけると、一方は0に近づき、他方はものすごい勢いで大きくなる。その増え方は、xが0より遠ざかるごとに勢いを増し、いかなる多項式関数をも駕する。x軸が漸近線である。

ex

指数関数の中でも特に重要なのが、ネイピア数を底とするものである。単に「指数関数」といった場合にこれをすこともある。exp(x)とも書く。この関数は、微分しても変化しない。つまり、(ex)' = exが成り立つ。これは非常に有用性が高く、様々な分野で応用されている。また、この関数は後述するオイラー公式にも登場する。

オイラーの公式

指数関数三角関数虚数単位によって結びつけた式。

eix = cosx+isinx

これを導き出す過程で、微分が重要な役割を担っている。これにより、eの虚数乗を定義することができる。

複素関数としての指数関数

底がeの場合

底がeのとき、数を複素数まで拡することができる。オイラー公式法則を用いて、

ex+iy = exeiy = ex(cosy+isiny)

と表せる。ちなみに、ここでのx,yは実数である必要はない。

底がaの場合

※xの自然対数logxと表す。

まず、axをetの形で表す。et = axとすると、t = logax = xlogaなので、ax = exlogaが成り立つ。あとは底がeの場合と同様。ちなみに、ここでのaはa>0に限らず、0でない複素数であればよい。複素数自然対数め方は、対数の項を参照。複素数自然対数は複数の値をとるので、axもまた然り。

関連項目

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読み:シスウカンスウ
初版作成日: 09/10/16 10:04 ◆ 最終更新日: 16/09/05 06:59
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指数関数について語るスレ

19 : ななしのよっしん :2013/10/30(水) 16:05:32 ID: StK0WWPGcm
バイバイン以外にあるとすれば麻雀青天井ぐらいしか
20 : ななしのよっしん :2013/11/24(日) 09:27:38 ID: hHbq6bmf+a
最近の指数関数と言えばCookieClicker
同種の施設を1個買うごとにその施設の値段が1.15倍になって…
21 : ななしのよっしん :2014/07/27(日) 15:42:27 ID: E1Jp1kBeoo
この記事、簡単なことを回りくどく書いて難しくしている、
頭の悪い駄文の典例だね。
理系が低いとこのような醜態をさらすことになる。

「xを一般の実数としたとき、これに限りなく近づく有理数列を考える。それを数とする数列を作れば、それはある値に限りなく近づく。それをaxとする。」

これなんて議論の余地なく最低だろ。
22 : ななしのよっしん :2014/08/01(金) 23:26:41 ID: fF2MgXbFPk
>>21
善案を出したほうがいですよ。
23 : ななしのよっしん :2014/09/22(月) 01:04:01 ID: phlK050laz
>>21
なら、方の高い理系で回りくどくない頭の良い記述に書き換えてくださいな。
24 : ななしのよっしん :2014/12/03(水) 01:17:36 ID: ZlmU71Bfg1
自然対数の底って円周率と同じぐらい普遍的な数学定数だよね。
a^xを微分するとlog_e(a)*a^xになるから、
e^xを微分するとe^x = log_e(e)*e^x = e^xとなり微分前の関数と一致する。
この現が何時見ても不思議だなぁって思う。

ど同じことだけど、(1+1/n)^nがn→でeに収束することも不思議だと思う。
なんていうか、自然対数の底eは実数の中で特異というか孤立しすぎって感じがある。
兄弟みたいな何か類似した実数があるんじゃないかってちょっと思うけど、
多分いんだろうな。
25 : ななしのよっしん :2014/12/03(水) 01:26:01 ID: ZlmU71Bfg1
まあ円周率も孤立しているといえば孤立しているけど、
確か、円の一般化と思える楕円についての周長は、楕円積分っていう
√(3次式)か√(4次式)を項としてもつ有理関数積分になるんだよね。
だから親兄弟がいるといえばいると思える。
26 : ななしのよっしん :2015/08/27(木) 13:24:12 ID: +1GtglxikR
このトチ狂った増え方ものすごく好き
27 : ななしのよっしん :2015/09/03(木) 03:17:48 ID: BAC+SaVTpv
関連動画www
28 : 悪魔の妹 :2016/01/08(金) 13:06:43 ID: AhosmtRGYc
>>26
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